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初中数学《几类不同增长的函数模型》乐虎国际唯一网站记录

2015-12-14 编辑:佚名 查看次数:
栏目:初中数学

新课引入
师:在初中,我们学习了一些类型的函数,如:
生:一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数等等
进入高中,我们继续学习了三中基本初等函数,它们是:
生:指数函数、对数函数、幂函数。
师:函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型,在很多地方我们都可以找到函数的影子,你能不能举出一些例子来?
生:打的时应付的车费和里程的关系中蕴涵了一个分段函数的例子,班级里的人和自己的座位之间有一种对应关系等
师:在我们面临一个实际问题时,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它?如果我们找到相应的数学模型后,又如何去研究它的性质?
例题剖析
例一:假设你有一笔资金用于投资,现在有三种方案供你选择,这三种方案如下:
方案一:每天回报40元;
方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番;
请问,你会选择那种投资方案?
师:请学生阅读题目,并思考
问题一:这里问如何选择投资方案,应从哪个方面考虑?
生:应该从收益多少的角度来考虑
师:问题二:每种方案中的回报效益与那些量有关系?能建立函数模型吗?每种方案建立的函数模型分别是:
生:方案一 y=40
方案二 y=10x
方案三
师:问题三:建立函数模型以后,应该选择那种方案呢?从哪个角度进行分析?
提示:虽然得到了收益和时间的关系式,但是直接从关系式中要知道具体收益的多少不容易,于是可以根据关系式把某些天的具体情况得到。
师:用手持计算器计算一下三种方案所得回报的增长情况,填写下面的表格。
生:分组合作,一个人操作手持计算器,一个人填表,完成下面的表格
师:问题四:如何分析上面的表格,你得出什么结果?请同学回答
生:从表格中可以知道,方案三到后面增加的很快,于是选择方案三
师:问题五:我们知道,函数图象是分析问题的好帮手,为了从总体上把握三个方案的的增长情况,利用手持计算器分别画出它们的图象来?对比得到的结果和前面的是否一致?
分组合作,一个人操作计算器,一个人画图
生:得到图象


请小组讨论,并分析,回答用图象分析的结果和上面表格分析的结果是不是一致?
生:由图象可知,选择方案三,和前面的结果一致。虽然方案三在起初的时候增加的比较缓慢,基本上看不到什么变化,但是在后面,它迅速的增加起来,越来越快。比方案一和方案二要快的多。于是选择方案三
师:我们看到在经过了一段时间的积累以后,指数函数模型 会剧烈的增加起来,象是要爆炸一样。我们把呈指数函数模型增长的情况叫做指数爆炸。
师:问题六:如果我们进行是短时间的投资,又该如何选择?
生;看收益情况。
师:该从那里开始分析?
生:由于是短时间的收益情况,我们可以把每种方案短时间内的收益做成一个表格,通过表格来分析。
师;给出表格

请学生分析后,给出结果。
例二:某公司为了实现1000万元的利润目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%,现有三个奖励模型: ,其中哪个模型能符合公司的要求?
师:问题一:根据问题要求,奖金数y应满足那几个要求?
生:两个要求,第一,总数不超过5万元
第二,不超过利润的25%
师:问题二:销售人员获得奖励,其销售利润x的取值范围大致如何?
生:10----1000万元之间
师:问题三:确定三个模型中哪个能满足题目的要求?该如何确定?
生:比较三个函数模型,看哪个模型中当利润在10-----1000之间时,奖金数符合前面的两个要求
师:请同学们在手持计算器上面画出三个模型的函数图象,同时为了满足第一个要求,需要多画出y=5的图象来 师:从图象上我们可以得到什么结论?
生:根据刚才分析,可以看出 模型中,奖金总数将会超过5万元,不选这个模型,同时 也会超过5,也不选择它
师:回答的很好,为了更清楚的说明问题,我们还需要计算一下,请同学们计算,上面两种函数,分别在x为多少时超过5
学生计算并回答
师:从图象上我们看到 模型中奖金没有超过5万元,那么此模型就一定满足题目的要求吗?
生:还要看奖金有没有超过利润的25%,可以根据 ,也就是
得到 。。。。。。。
然后学生发现无法进行下去了
师:这是一个超越不等式,现在大家没有办法解,不过我们的手持计算器功能强大,如果我们建立一个函数: ,可以画出图象观察
生:画图象

分析,从图象上可以看出,该函数是一个减函数,并且函数值小于0
于是知道 成立,该模型符合要求。


由于时间关系,练习2没有讲完,留作思考。

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